座標軸を並べた行列は回転行列

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直交座標系の軸を並べた行列は回転行列である．これを使って，ある座標系から別の座標系に変換できる．

例えば，三次元空間のx,y,z軸で表された点をa,b,c軸からなる三次元直交座標系に変換することを考えよう．このとき，x軸がa軸になり，y軸がb軸になり，z軸がc軸になるような変換を考える．

$$\begin{array}{c}a={\left(\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\end{array}\right)}^T\\ b={\left(\begin{array}{ccc}{b}_x& b_y& b_z\end{array}\right)}^T\\ c={\left(\begin{array}{ccc}{c}_x& c_y& c_z\end{array}\right)}^T\end{array}$$

この変換行列は以下で表される．

$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_x& b_x& c_x\\ a_y& b_y& c_y\\ a_z& b_z& c_z\end{array}\right)$$

検算してみよう．

$$x={\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right)}^T$$

$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_x& b_x& c_x\\ a_y& b_y& c_y\\ a_z& b_z& c_z\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)$$

xに対してこの行列をかけるとaになる．

$$y={\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array}\right)}^T$$

$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_x& b_x& c_x\\ a_y& b_y& c_y\\ a_z& b_z& c_z\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right)$$

yに対してこの行列をかけるとbになる．

$$z={\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right)}^T$$

$$\left(\begin{array}{ccc}{a}_x& b_x& c_x\\ a_y& b_y& c_y\\ a_z& b_z& c_z\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{c}_x\\ c_y\\ c_z\end{array}\right)$$

zに対してこの行列をかけるとcになる．

この変換行列により，x,y,z空間をa,b,c空間に変換できる．

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